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线性代数之化二次型为标准形的方法总结

时间:2021-04-29 18:41:02

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线性代数考研中的两道大题是线性方程组,二次型和相似轮流来的。由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的,所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题,可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。

二次型的标准型:

二次型的标准型

化二次型为标准型:

化二次型为标准型

用正交变换化二次型为标准型的解题步骤为:

线性代数之化二次型为标准形的方法总结

(1)把二次型表示成矩阵形式;

(2)求矩阵A的特征值及对应的特征向量;

(3)对重根对应的特征向量作施密特正交化;

(4)全体特征向量单位化;

(5)将正交单位特征向量合并成正交矩阵;

(6)令x=Qy。

题型一:化二次型为标准型

例1:用正交变换把如下二次型化为标准型:

解题思路:按照上面用正交变换化二次型为标准型的方法来求解。

解:

总结:用正交变换把二次型化为标准型的题型是考研必考的大题,所以同学们一定要熟练掌握。

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