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本书旨在探索数学思维与方法的多样性,以“一题多解”为切入点,深入解构和探讨数学问题背后的多重解决途径。通过对不同解题思路的比较和分析,读者将全面理解数学问题的多元化解法,培养独立思考和创新解决问题的能力。本书不仅从数学角度进行解析,还深入探讨与数学相关的思维模式、逻辑推理和创新思维。无论是教师、学生还是数学爱好者,都能从中获得启发与帮助。同时,本书还融入数学史、数学文化等多个维度,引领读者体验数学无限的魅力,激发对数学的更深层次的热爱与探索欲望。
【原题】
已知:CN平分正方形ABCD的外角∠DCE,M是BC边上的一点,MN⊥AM.
求证:AM=MN
【一、题中有法】
解题总策略:加减、进退、分合、动静。
策略口诀:少则加之,多则减之,能进则进,难进则退,分析解构,整合组块,以动破静,以静制动。
1.加法:少则加之,图中有部分全等条件,将之添加补全即可得证。
法(1):如下图,添加AC"=CM,得ΔMCN≅ΔAC"M。
法(2):作NF⊥CE,由∠FCN=45°得CF = NF,由∠B=∠NFM=90°得ΔABM∽ΔMFN,再由之继续推导,如下图。
2.动法:以动破静。
法(3):由条件MN⊥AM,结论MN=AM,知其所在全等三角形是旋转90度。如下图所示:
我们可以换个旋转中心,将ΔMCN绕点M逆时针旋转90度,如下图,作MC"⊥AC即可证ΔMCN≅ΔMC"A。
法(4):再换个旋转中心,将ΔMCN绕点C逆时针旋转90度,如下图,可证由ΔMCN≅M"CN"再证四边形AMM"N"是平行四边形(两组对边平行)。
法(5):再换个旋转方向,将ΔMCN绕点C顺时针旋转90度,如下图,可证由ΔMCN≅M"CN"再证四边形AMN"M"是平行四边形(两组对边平行)。
法(6):再用翻变换,如下图,考虑到延长AC后,CE平分∠NCN",把△MCN沿ME翻折,可证等腰△AMN"(AM=MN")。
法(7):与上图相对应,考虑到延长NC,CB平分∠ACA",把△ABM沿BC翻折,可证等腰△MA"N(MN=MA"),如下图。
法(8):把ΔABM逆时针旋转90°,再作M"N∥BC、M"A"∥MN、M"C"∥CN,由∠A"=∠CMN=∠BAM得∠ΔABM∽ΔA"BM",且有平行四边形MNM"A",CNM"C",CM=A"C",推导如下。
法(9):若把ΔABM旋转如下图(注意因为没有等线,不可以直接旋转,应作平行线B"M、B"N),请读者自行推导。
3.进法:能进则进。
法(10):从∠AMN=90°前进,构造直角三角形,应用勾股定理。
4.合法:整合组块。
法(11):连接AC、AN,出现四点共圆基本模型,由∠AMN=∠ACN=90°,知A、M、C、N四点共圆,易得∠ANM=∠ACB=45°,得AM=MN。
【二、题中有题】
原题还能延伸出其它相关问题吗?
1.条件置换:把条件作对等变换,如线段上的点运动到其延长线上,正方形变为正三角形等。
(1)图形中点M是BC边上的动点,把M点的运动位置变换到BC的延长线上(如下图),结论还成立吗?上面的方法还能应用吗?
(2)继续把M点的位置变换到B点的左侧时(如下图),还成立吗?
尝试发现,不管是结论还是作辅助线的方法都完全一样,证明过程也基本相同。
(3)把正方形变成正三角形。
已知:CN平分正三角形ABC的外角∠ACE,M是BC边上的一点,∠AMN=60°.
求证:AM=MN
若把正方形变成其它正多边形同样成立。
2.条件叠加:附加其它条件和问题,使问题信息容量加大,综合性更强。
(4)如下图,连结AN交CD于F,连结MF,还可以得到哪些新的结论?
容易想到∠MAN=∠MNA=45°,再看有没有包含已做过的图形?MF与BM、DF有什么关系?
请解答:添加条件“正方形边长为4,DF=1,求BM的长。“
3.条件弱化:把条件的特殊性去掉,使之更一般化。
(5)猜想:AM=MN是因为正方形的条件使图中存在全等关系,那么正方形改为矩形,AM与MN还能保持相等吗?CN平分∠DCE需要改变吗?
题目原图实质是等腰直角ΔABC进行相似变换得ΔAMN,由一转成双相似模型可推得ΔACN∽ΔABM,因此∠ACN=∠ABM=Rt∠,这是图形的根本特征,正方形条件只是提供了等腰直角ΔABC,D点擦去也无关紧要。
自然得出:如“正方形”变成“矩形”,“等腰直角ΔABC”中“等腰”的特殊性就没有了,就会变成把“直角ΔABC”进行相似变换,如下图,题目变为:
已知:矩形ABCD中,BC=2AB,M是BC边上的一点,AM⊥MN,AC⊥CN.
求证:MN=2AM
再看证明方法,前面的方法可以再一次使用:作MF∥AC,构造相似三角形。
还有更简单的方法:作以AN为直径的辅助圆。如下图:
(6)把M点的位置扩展到直线BC上,仍然成立。
题目中D点是多余的,可以把题目精简为:
已知:ΔABC中,∠B=90°,BC=2AB,M是直线BC边上的一点,AM⊥MN,AC⊥CN.
求证:MN=2AM
(7)继续一般化:
已知:ΔABC中,BC=nAB,M是直线BC边上的一点,∠B=∠AMN=∠ACN.
求证:MN=nAM
【三、题中有理】
哲学思考是对世界的深度认识,解决问题的过程中可以体验并感悟事物变化规律及其蕴含的哲理,培育理性精神和处事智慧。
上图体现了事物的普遍联系,由MN⊥AM可知全等三角形的三组对应边都是垂直关系,整个三角形是旋转90度的关系。
下图是ΔMCN绕M点旋转90度。
以上可以体现事物是在运动变化过程中产生联系的,并且运动方式是多种多样的。
下图可以看成是ΔMCN绕CM的中点旋转180度,也可以看成是ΔABM绕B点旋转90度,体现了系统结构中发展变化的和谐统一。
下图是构造辅助圆,把相关元素集中到同一圆中,证法简洁漂亮。圆具有最完美的对称性,圆中的元素能产生丰富而紧密的联系,因此使问题清晰明了易解。
以上可以体现同类事物的一致性和相容性。
下图把正方形变成矩形甚至变成一般三角形,条件变化导致结论进行了相应变化,但换个角度看所变各题与原题的内在逻辑仍有共性:比值相等,保持AM:MN=AB:BC(正方形邻边比是1:1,矩形邻边比是1:n)。
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