矢量三点共线定理是解析几何中的重要定理，它表明当三个点在同一条直线上时，它们对应的位置矢量也共线。证明该定理可以通过向量相加和线性组合的性质，以及利用向量共线的等价条件进行推导。首先，我们可以表示三个点的位置向量为a、b、c，然后通过向量加法和平移等操作，将其中一个向量转化到另外一个向量上，从而证明它们共线。这个定理不仅在数学中有重要应用，也为解决实际问题提供了便利。
共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。
共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。
证明过程如下：
设A、B、C三点共线，O是平面内任一点。
因为A、B、C共线，所以存在非零实数k，使
AB=kAC
即 OB-OA=k(OC-OA)
所以 OB=kOC+(1-k)OA
[注：两个系数和 k+1-k=1]
反之，若存在实数x，y 满足 x+y=1，且OA=xOB+yOC
则 OA=xOB+(1-x)OC
OA-OC=x(OB-OC)
所以 CA=xCB
因此，向量CA与CB共线
又由于 CA、CB有公共点C
所以，A、B、C三点共线
三点共线的证明方法：
方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式 .代入第三点坐标 看是否满足该解析式 （直线与方程）。
方法二：设三点为A、B、C .利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。
方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。
方法四：用梅涅劳斯定理。
方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”.可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。
方法六：运用公（定）理 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”.其实就是同一法。
方法七：证明其夹角为180°。
方法八：设A B C ，证明△ABC面积为0
