例题:如图,在ΔABC中,∠ACB=45度,点D是直线BC上的一个动点。以AD为一边在直线BC的同侧作正方形ADEF,其对角线AE、DF相交于点O。求证:OA=OC。
在前面两文中,我们以A为旋转中心,通过旋转变换,得到了6种不同的解法,以D为旋转中心,通过旋转变换,又得到了6种不同的解法,这样就共有12种不同的解法了。那么还可以以谁为旋转中心呢?
我们再以O为旋转中心,通过旋转变换来拓展解题思路。
思路13:以点O为旋转中心来考察线段AC的两个端点C和A(参照点D) 。显然点D绕旋转中心O顺时针旋转了90度到A(等腰RT⊿OAD),故我们同样以点O为旋转中心,将点C也顺时针旋转90度,得到点G。因为OD=OA,所以此时的缩放比例为1:1。
解法13:过点O作OG⊥OC且使得OG=OC,作直线GA,交BC于点H。因为⊿OAD和⊿OGC都是等腰直角三角形,且具有公共的顶角顶点O,故⊿OGA与⊿OCD必定是全等的,而且是绕点O旋转了90度的全等(其实就是手拉手模型的旋转全等)!所以∠OGA=∠OCD,GA=CD。在四边形OGHC中,因为∠OGA=∠OCD,所以易证∠GHC=90度。又因为∠ACB=45度,所以∠HAC=45度。这样∠GAC=∠DCA,于是⊿GAC与⊿DCA必定是全等的,故GC=AD。因为⊿OAD和⊿OGC都是等腰直角三角形,两斜边又相等,这样其腰也必定相等,故OA=OC。
既然可以顺时针旋转,那么当然也可以逆时针旋转,于是我们又得到如下解法。
思路14:以点O为旋转中心来考察线段AC的两个端点C和A(参照点D) 。显然点A绕旋转中心O逆时针旋转了90度到D(等腰RT⊿OAD),故我们同样以点O为旋转中心,将点C也逆时针旋转90度,得到点G。因为OD=OA,所以此时的缩放比例为1:1。
解法14:过点O作OG⊥OC且使得OG=OC,作直线AC、GD相交于点H。因为⊿OAD和⊿OCG都是等腰直角三角形,且具有公共的顶角顶点O,故⊿OGD与⊿OCA必定是全等的,而且是绕点O旋转了90度的全等(其实就是手拉手模型的旋转全等)!所以∠OGD=OCA,GD=CA。在四边形OGHC中,因为∠OGD=OCA,所以易证∠GHC=90度。又因为∠DCH=∠ACB=45度,所以∠HDC=45度。这样∠GDC=∠CAD,于是⊿GDC与⊿ACD必定是全等的,故GC=AD。因为⊿OAD和⊿OCG都是等腰直角三角形,两斜边又相等,这样其腰也必定相等,故OA=OC。
总结:解法13和解法14的核心就是以点O为旋转中心,将C或顺时针或逆时针旋转90度,再进行缩放! 辅助线的具体作法就是以OC为一边,作一个等腰直角⊿OCG,再和等腰直角⊿OAD构成手拉手模型!最后再结合三角形全等来解题。其中辅助线的作法总结成口诀就是:共顶点,等顶角,见等腰,作等腰!构成手拉手,全等必定有!
最后再来总结一下,以上14种解法的核心其实就是旋转!
一是旋转中心的确定。我们是分别以点A、D、O作为了旋转中心,这里A是定点,而D、O皆为动点。但是它们组成的三角形的形状是确定的!
二是旋转角度的确定。旋转方向比较简单,或顺时针或逆时针,但旋转角度必须是定值!
三是缩放比例的确定。由旋转前后的对应线段的比值,我们可以确定缩放比例。如果1:1那就是全等,否则就是相似,无论全等还是相似,都可以将题中相关条件集中在一起,从而为我们打开解题的突破口!
正可谓:旋转构成手拉手,打开解题突破口! 相似全等必定来,一题多解真精彩!
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