中考热点问题——函数的交点 函数的交点是中学数学中的一个重要概念，也是中考常见的考点之一。函数的交点指的是两个函数在平面直角坐标系中相交的点，即在同一横坐标下两个函数的纵坐标相等的点。通过求解函数的交点，可以帮助学生理解函数之间的关系，掌握函数图像的性质和变化规律。在中考试题中，经常涉及到求解两个函数的交点坐标，并结合题目给出的条件进行分析和计算。因此，掌握函数的交点是中学数学学习中不可或缺的一部分，也是中考备考的重要内容之一。
随着越来越多的函数题目与高中衔接。几个能力大家需要加强：
①数与式的运算能力；
②含参数方程与不等式的解法；
③数形结合思想，特别是画图的能力。
本文介绍的是各地出现的函数交点问题。题目选自以下地区：
·贵阳、·天门
·乐山、·大连
·大庆、·广州
【中考真题】
（·贵阳）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y=1/2x+1/2上，若抛物线y＝ax²﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是
A．a≤﹣2
B．a＜9/8
C．1≤a＜9/8或a≤﹣2
D．﹣2≤a＜9/8
【分析】
由于a≠0，则分为两种情况：
①抛物线开口向上a＞0；
②抛物线开口向下a＜0；
由于抛物线与线段有两个交点，那么联立之后必然△＞0.
令1/2x+1/2=ax²﹣x+1，
则2ax²﹣3x+1＝0
△＝9﹣8a＞0
a＜9/8
PART1第1种情况，a＞0，
那么我们可以得到抛物线的对称轴在y轴的右侧。
如下图所示，怎样才可以使得它们有两个交点呢？
当抛物线恰好经过点B的时候是一个临界点，
然后开口再可以缩小一点，但是不能扩大。否则另一个交点就不再线段上了。
同时需要保证顶点坐标在直线的下方。
即a-1+1≥1。
a可以继续变大，开口缩小，直至只有1个交点。
PART2 第2种情况，a＜0，
那么我们可以得到抛物线的对称轴在y轴的左侧。
如下图所示，恰好经过点A的时候，此时是一个临界点。
开口可以缩小，不能放大，也就是a的绝对值变大。
代入点A的坐标，a+1+1≤0
【答案】C
【解析】解：∵抛物线y＝ax²﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令1/2x+1/2=ax²﹣x+1，则2ax²﹣3x+1＝0
∴△＝9﹣8a＞0
∴a＜9/8
①当a＜0时，a+1+1≤0，a-1+1≤1
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
②当a＞0时，a+1+1≥0，a-1+1≥1
解得：a≥1
∴1≤a＜9/8
综上所述：1≤a＜9/8或a≤﹣2
故选：C．
【举一反三】
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