“领略函数的曲折发展历程+初见函数费脑问题”是一篇探讨数学函数发展历程及其初期认知困惑的文章。文章首先回顾了函数概念的起源及其在数学发展中的曲折进程，通过对函数概念的历史演变和数学家们的探索经历进行分析，展现了函数概念的发展脉络和重要里程碑。其次，文章着重关注初学者在学习函数概念时所遇到的认知困惑和费脑问题，探讨了学生在理解和应用函数时可能面临的挑战，并提出了相应的解决方法和建议。通过文章的阐释和分析，读者可以对函数的发展历程和初期认知困惑有更深入的了解，并对相关问题有所启发和启示。
历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今。回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情。我们知道数学学习讲究的是前因后果的逻辑关系，只有掌握好每一个环节，你才能真正地去理解某一个知识点所蕴含的意义，才能明白掌握基础知识对数学学习是多么重要。就像函数这一概念，并不是凭空产生，它的发展历史就是一部数学历史的缩写，我们一起来简单了解一下。
函数内容之前所学的实数、整式、分式等数与式都是不动的、不变的数与式，或者说变化和运动几乎完全隐藏在背后。我们所学的几何，大部分来自于欧几里德的《几何原本》，图形也是以不变和静止为主要思路来处理的。而且欧几里德力图尽量避免使图形又变化又运动。
可是随着时间的流逝，不变和静止的数学开始落后了，取代不变和静止的数学的是变化和运动的数学，并且变化和运动的数学一跃而后来居上。
从14世纪开始到15世纪左右，商品开始出聘于社会生活中。商品像身体小但力量大的蚂蚁群一样，从村庄到村庄，从城市到城市，迅速地发展起来。为了制造商品就兴办了新型工业，为了交换商品则诞生了商业。而为了运输商品，陆地和海上的交通也随之蓬勃发展起来了。工厂的工人和商人的身价顿时倍增。以哥伦布和互斯科达伽马为先导的商船队，从地中海出发驶往大西洋和印度洋去开拓新市场。商船队在海上，经过地中海由一个岛屿绕过一个岛屿航行的时候，必须有新的航海技术。因为在茫茫的大海中连一个岛屿的影子也看不见，只能凭借太阳、月亮和星星这些天体来决定船队所在的位置，这样就要精确地知道太阳和月亮的运动，因而创造了新的天文学。
这个时代所要求发展的科学不是不变和静止的科学，而是变化和运动的科学。伽利略公然反对那种认为“不变才是高贵、完全的科学”的说法。
十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
把字母看作是变动的数即变数的人是笛卡尔。他在《几何学》一文中首先引入变量思想，称为“未知和未定的量”，同时引入了两个变量之间的相依关系。这便是函数概念的萌芽。
十七世纪，在对各种各样运动的研究中，人们愈来愈感到需要有一个能准确表示各种量之间关系的数学概念。经过深思熟虑，人们从笛卡尔的变量思想中得到启示，从而引出了函数概念。
据考证，十七世纪中叶，微积分的创始人之一德国数学家莱布尼兹最先使用函数（function）这个名词。后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。
17约翰柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。
1748年，欧拉在其《无穷分析引论》一书中把函数定义为：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。”他把约翰贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
18，柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。
18傅里叶发现某些函数可以用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。
1837年狄利克雷突破了这一局限，认为怎样去建立 与 之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。
等到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，奥斯瓦尔德维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。
19豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于19用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。
1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为f。元素x称为自变量，元素y称为因变量”。
从上述定义可以看出，初中的函数定义是传统定义，是从运动变化过程中两个变量出发。高中函数的定义接近于近代定义，虽说还是在运动的变化过程中，但是高中函数的定义更突出了函数实质是两个非空数集（定义域和值域）间的一种对应关系，这种对应关系的对应法则f满足唯一性。
函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。
函数的特性（接下来要学习的）有界性,单调性,奇偶性,周期性,连续性,凹凸性,复合函数反函数,分段函数）;在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同解析式子来表示的一个函数，称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集。
函数关系从被发现到确立，前后经历数百年的时间，前前后后不知多少数学家投入其中，耗费大量的时间精力等等来研究。看到这里，大家觉得自己的数学学习够努力了吗？
函数的英文名是function，翻译成中文的时候，为什么是函数呢？在1859年，我国清代著名数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，把“function”翻译成中文的“函数”。李善兰认为中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，因此“函数”是指公式里含有变量的意思，具体来说就是：凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。
了解函数概念发展的历程，我们可以求解函数概念相关问题，不深入动脑，还不能快速求解呢。
1．（春道里区期末）下列图象中，表示y不是x的函数的是
【解析】B、C、D选项中对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，只有A选项对于x的每一个确定的值，可能会有两个y与之对应，不符合函数的定义．故选：A．
2. 二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长，根据如图，在下列选项中指出白昼时长低于11小时的节气
A．惊蛰 B．小满 C．立秋 D．大寒
【解析】根据函数的图象确定每个节气白昼时长，然后即可确定正确的选项．
A、惊蛰白昼时长为11.5小时，高于11小时，不符合题意；
B、小满白昼时长为14.5小时，高于11小时，不符合题意；
C、立秋白昼时长为14小时，高于11小时，不符合题意；
D、大寒白昼时长为9.8小时，低于11小时，符合题意，
故选：D．
3.（武汉）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是
【解析】∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，∴y随x的增大而减小，符合一次函数图象，选：A．
4．从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示，则对应容器的形状为
【解析】根据液面高度h随时间t的变化情况的图象可以看出，高度h随时间t的变化情况是：先是高度随时间变化比较缓慢，然后逐渐变快，然后又变得比较缓慢，并且变慢的长度越来越大，最后，又急速上升，可以推断这个容器底部比较粗，然后逐渐变细，然后又逐渐变粗，最后又变得细小，并且最后非常细，推断可能是C容器．
5．（天水）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是
【解析】y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．故选：D．
函数概念的演变过程，就是一个函数内涵在不断地被挖掘、丰富和精确刻划的历史过程；这两百多年的发展，人们对事物数量关系的研究从静止的、孤立的观点转变到运动和联系的观点，与辩证法的发展密切相关；同时也可以看出数学概念并非生来就有，一成不变，而是人们在对客观世界深入了解过程中得到，并不断加以发展的，从而以适应新的需要。历史的长河之中有着无数珍珠等待着我们的采撷，函数的发展简史就是数学发展历史的一个缩影，每一个在我们今天看来非常简单的数学名词，背后不知道有多少数学家、数学工作者耗费一生投入其中，才有今天的数学成就。
因此，希望大家在数学学习过程中，一定要刻苦努力，讲究方法，坚持不懈，多反思，多思考等等，这样才能慢慢学好数学。
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